Муниципальное казенное образовательное учреждение
«Новоникольская средняя общеобразовательная школа»
Быковского муниципального района Волгоградской области
Урок алгебры в 8 классе
Выполнила : учитель математики
Новоникольское – 2015
Урок алгебры в 8 классе
по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»
Цели урока:
повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;
закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни;
научить освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби;
воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, интерес к предмету.
Оборудование : мультимедийный проектор, интерактивная доска, оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.
Ход урока:
I . Организационный момент
Сегодня на уроке мы с вами продолжим преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Подвести итоги сегодняшнего урока поможет оценочный лист. Подпишите свои листы и ответьте на первый вопрос «Настроение в начале урока», выбрав один из смайликов.
В математике есть нечто,
вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф
II . Устная работа
1) Фронтальный опрос.
Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х| ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? хх. –х ).
2) Устный счёт: Ну-ка в сторону карандаши!
Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.
"Устный счёт!" Мы творим это дело
Только силой ума и души.
Цифры сходятся где-то во тьме,
И глаза начинают светиться,
И кругом только умные лица.
Потому что считаем в уме!
Вычислите устно:
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
2. Внесите множитель под знак корня:
3. Возведите в квадрат:
4. Приведите подобные слагаемые:
III . Диктант:
| Вариант-1 | Вариант- 2 | Ответы: | Ответы: |
IV .ФИЗКУЛЬТМИНУТКА
V . Историческая справка
Radix - имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»
Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).
Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались
точкой ·5
Позднее вместо точки стали ставить ромбик ¨5
Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.
VI этап. Работа над новым материалом.
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность.
Ставится проблема: « Какое выражение проще вычислить: или ? Почему? (Потому, что делить на рациональное число проще, чем на иррациональное.)
Сегодня на уроке мы и будем изучать тему
« Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби». Попробуем освободиться от иррациональности в знаменателе в следующих примерах:
а); б) ; в); г).
На какое выражение нужно умножить знаменатель дроби, чтобы корни «исчезли»? А для того чтобы дробь не изменилась, что нужно сделать? Получаем следующую запись решения.
г)=
Сделаем вывод.
Преобразование, при котором в знаменателе дроби исчезают корни, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. Мы увидели два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе:
VII . Закрепление темы : Учебник. Стр.98 № 431(а,б,ж,з), №433(а,б,в)
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) ; б) в); г) .
VII I . Тест (работа в парах )
Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».
На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста. (тест прилагается )
Самопроверка:
Код правильных ответов: I вариант – 12312 , II вариант - 32132.
Домашнее задание: №431(з,и), №432, №433(г,д,е)
IX . Итог урока:
Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.
Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.
Небо покроется черною мглой,
В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?
- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Расширили свой кругозор и узнали, кто впервые ввёл современный знак корня во всеобщее употребление.
Все работали плодотворно, активно и коллективно в течении урока.
Урок окончен. Всем спасибо за урок!
ЛИСТ-ОПРОСНИК
Ф.И. ученика____________________________
1. Настроение в начале урока: а) б) в)
2. Мое восприятие темы урока:
а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.
3.Оценка за диктант:
4. Количество неправильных ответов теста: _________
5. Я работал(а) на уроке:
а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.
6. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)
7. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)
8. Настроение в конце урока: а) б в)
| Тест I вариант 1. Упростите выражение 1) 2) 3) 2. Раскройте скобки и упростите выражение: 1) 18; 2) 12; 3) 22. 3. Упростите: 1); 2) ; 3) . 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе = 1) ; 2) ; 3) . 1) ; 2) ; 3); 4) | Тест II вариант 1. Упростите выражение 1); 2) ; 3) 2. Раскройте скобки и упростите 1) 8; 2) 12; 3) 10. 3. Упростите: 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 1) ; 2); 3) . 5. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ; 2)
; 3) Ни костяшек, ни ручек, ни мела. Ну-ка, в сторону карандаши! "Устный счёт!" Мы творим это дело Только силой ума и души. Цифры сходятся где-то во тьме, И глаза начинают светиться, И кругом только умные лица. Потому что считаем в уме!  Устный счёт Вынесите множитель из-под знака корня: Немного подумайте  Устный счёт
Немного подумайте  Устный счёт Возведите в квадрат: Немного подумайте  Устный счёт Приведите подобные слагаемые: Немного подумайте       III . Диктант: Вариант-1 Вариант- 2 Ответы: Ответы:  
 Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5 Позднее вместо точки стали ставить ромбик 5 Затем 5 . Затем знак и черту стали соединять.   Взаимопроверка I вариант II вариант п.19, стр. 96, пример 3 № 431 (з, и), №432, №433 (г, д, е) Если в жизни ты хоть на мгновенье Истину в сердце своем ощутил, Если луч света сквозь мрак и сомненье Ярким сияньем твой путь озарил: Что бы в решенье твоем неизменном Рок ни назначил тебе впереди, Память об этом мгновенье священном Вечно храни, как святыню в груди. Тучи сберутся громадой нестройной, Небо покроется черною мглой, С ясной решимостью, с верой спокойной Бурю ты встреть и померься с грозой. |
§ 1 Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня
Давайте вспомним свойства квадратных корней: если a, b - неотрицательные числа a, b ≥ 0, то справедливы следующие равенства:
Используя эти формулы, можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, но с условием, что переменные этих выражений принимают только неотрицательные значения. Сделав такое предположение, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1: Упросить выражение:
Поскольку в выражении присутствует дробь, для его преобразования воспользуемся вторым свойством:
Для преобразования знаменателя использовали третье свойство:
В результате первоначальное выражение принимает вид:
Пример 2: Вынести множитель из-под знака квадратного корня:
При решении примера под буквой А воспользуемся первым и третьим свойствами квадратного корня:
Аналогично преобразуем выражение, представленное в задании под буквой Б:
Пример 3: Внести множитель под знак квадратного корня для
Чтобы внести множитель под знак корня, используем третье свойство справа налево:
Решим несколько задач по преобразованию выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, пользуясь формулами сокращенного умножения. Прежде вспомним и выпишем их:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
a3 - b3 = (a-b)(a2 + ab + b2)
a3 + a3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Пример 4: Упросить выражение:
Для решения представим число три как квадратный корень из трех в квадрате:
а в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов, тогда получим:
Пример 5: Упростить выражение:
Для решения, во-первых, рассмотрим выражение:
Если предположить, что
то
используя формулу суммы кубов
Получаем
Сделаем соответствующую замену.
Во-вторых, от операции деления на (a - b) перейдем к операции умножения на обратную дробь:
В-третьих, первую дробь в скобке сократим на выражение:
а затем произведем операцию умножения.
Предположим:
используя формулу разности квадратов, получаем:
Выражение в числителе первой дроби по формуле квадрата разности можно записать: 
Сделаем соответствующие замены. В числителе и знаменателе первой дроби есть общий множитель, поэтому после сокращения в заключение остается только сложить дроби с одинаковыми знаменателями.
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе.
§ 2 Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби
1. Разложить знаменатель дроби на множители;
2. Если знаменатель имеет вид:
Если знаменатель имеет вид:
или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на:
3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь. Выражения вида:
Рассмотрим, как избавиться от иррациональности в знаменателе на примерах:
А) Преобразуем выражение:
Воспользуемся алгоритмом освобождения от иррациональности в знаменателе дроби: умножим на:
числитель и знаменатель. Получим:
Б) Преобразуем выражение:
В данном примере числитель и знаменатель дроби умножается на сопряженное выражение:
Итак, мы разобрали несколько примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.1Учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 9-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2007. – 215с.: ил.
- Мордкович А.Г. «Алгебра» 8 класс. В 2 ч. Ч.2 Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. – 8-е изд., – М.: Мнемозина, 2006. – 239с.
- Алгебра. 8 класс. Контрольные работы для учащихся образовательных учреждений Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 40с.
- Алгебра. 8 класс. Самостоятельные работы для учащихся образовательных учреждений: к учебнику А.Г. Мордковича, Л.А. Александрова под ред. А.Г. Мордковича. 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2013. - 112с.
Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» - наглядное пособие, с помощью которого учителю легче сформировать умения и навыки в решении задач, содержащих выражения с квадратным корнем. В ходе урока напоминаются теоретические основы, служащие основанием для проведения операций над числами и переменными, имеющимися в подкоренном выражении, описывается решение множества видов задач, которые могут потребовать умения пользоваться формулами преобразования выражений, содержащих квадратный корень, даются методы избавления от иррациональности в знаменателе дроби.
Видеоурок начинается с демонстрации названия темы. Отмечается, что ранее на уроках выполнялись преобразования рациональных выражений. При этом использовались теоретические сведения об одночленах и многочленах, методы работы с многочленами, алгебраическими дробями, а также формулы сокращенного умножения. В данном видеоуроке рассматривается введение операции по извлечению квадратного корня для преобразования выражений. Ученикам напоминаются свойства операции по извлечению квадратного корня. Среди таких свойств указано, что после извлечения квадратного корня из квадрата числа получается само число, корень произведения двух чисел равен произведению двух корней от этих чисел, корень частного двух чисел равен частному корней от членов частного. Последнее рассмотренное свойство - извлечение квадратного корня из числа, возведенного в четную степень √a 2 n , которое в результате образует число в степени a n . Рассмотренные свойства действительны для любых неотрицательных чисел.
Рассматриваются примеры, в которых требуются преобразования выражений, содержащих квадратный корень. Указано, что в данных примерах предусмотрено, что aи b являются неотрицательными числами. В первом примере необходимо упростить выражения √16a 4 /9b 4 и √a 2 b 4 . В первом случае применяется свойство, определяющее, что корень квадратный произведения двух чисел равен произведению корней из них. В результате преобразования получается выражение ab 2 . Во втором выражении используется формула преобразования квадратного корня частного в частное корней. Итогом преобразования является выражение 4a 2 /3b 3 .
Во втором примере необходимо вынести из-под знака квадратного корня множитель. Рассматривается решение выражений √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 . На примере преобразования четырех выражений показывается, как применяется формула преобразования корня произведения нескольких чисел для решения подобных задач. При этом отдельно отмечаются случаи, когда выражения содержат числовые коэффициенты, параметры в четной, нечетной степени. В результате преобразования получаются выражения √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.
В третьем примере необходимо произвести операцию, противоположную той, что в предыдущей задаче. Для внесения множителя под знак квадратного корня также необходимо уметь пользоваться изученными формулами. Предлагается в выражениях 2√2 и 3a√b/√3a внести множитель перед скобками под знак корня. Используя известные формулы, множитель, стоящий перед знаком корня, возводится в квадрат и помещается в виде множителя в произведение под знаком корня. В первом выражении в результате преобразования получается выражение √8. Во втором выражении сначала применяется формула коня произведения для преобразования числителя, а затем формула корня частного - для преобразования всего выражения. После сокращения числителя и знаменателя в подкоренном выражении, получается √3ab.
В примере 4 необходимо выполнить действия в выражениях (√a+√b)(√a-√b). Для решения данного выражения вводятся новые переменные, заменяющие одночлены, содержащие знак корня √a=х и √b=у. после подстановки новых переменных, очевидна возможность использования формулы сокращенного умножения, после чего выражение получает вид х 2 -у 2 . Возвращаясь к исходным переменным, получаем a-b. Второе выражение (√a+√b) 2 также можно преобразовать с помощью формулы сокращенного умножения. После раскрытия скобок получаем результат a+2√ab+b.
В примере 5 производится разложение на множители выражений 4a-4√ab+b и х√х+1. Для решения данной задачи необходимо выполнить преобразования, выделить общие множители. После применения свойств квадратного корня для решения первого выражения сумма преобразуется в квадрат разности (2√а-√b) 2 . Для решения второго выражения необходимо занести под корень множитель перед знаком корня, а затем применить формулу для суммы кубов. Результатом преобразования становится выражение (√х+1)(х 2 -√х+1).
Пример 6 демонстрирует решение задачи, где нужно упростить выражение (а√а+3√3)(√а-√3)/((√а-√3) 2 +√3а). Решение задания выполняется в четыре действия. В первом действии числитель преобразуется в произведение с помощью формулы сокращенного умножения - суммы кубов двух чисел. Во втором действии преобразуется знаменатель выражения, который получает вид а-√3а+3. После преобразования становится возможным сокращение дроби. В последнем действии применяется также формула сокращенного умножения, которая помогает получить окончательный результат а-3.
В седьмом примере необходимо избавиться от квадратного корня в знаменателях дробей 1/√2 и 1/(√3-√2). При решении задания используется основное свойство дроби. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, числитель и знаменатель умножаются на одинаковое число, с помощью которого подкоренное выражение возводится в квадрат. В результате вычислений получаем 1/√2=√2/2 и 1/(√3-√2)=√3+√2.
Указываются особенности математического языка при работе с выражениями, содержащими корень. Отмечается, что содержание квадратного корня в знаменателе дроби означает содержание иррациональности. А об избавлении от знака корня в таком знаменателе говорят как об избавлении от иррациональности в знаменателе. Описываются методы, как можно избавиться от иррациональности - для преобразования знаменателя вида √а необходимо умножить числитель одновременно со знаменателем на число √а, а для устранения иррациональности для знаменателя вида √а-√b, числитель и знаменатель умножаются на сопряженное выражение √а+√b. Отмечается, что избавление от иррациональности в таком знаменателе очень части облегчает решение задачи.
В конце видеоурока рассматривается упрощение выражения 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Чтобы упростить выражение, применяются рассмотренные выше способы избавления от иррациональности в знаменателе дробей. Полученные выражения складываются, после чего упрощенный вид выражения имеет вид √5-2√3.
Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для формирования навыков решения заданий, в которых содержится квадратных корень. С этой же целью видео может быть использовано учителем в ходе дистанционного обучения. Также материал может быть рекомендован ученикам для самостоятельной работы дома.
«Средняя общеобразовательная школа №51»
На конкурс «Учитель года», школьный этап
План-конспект урока математики для 8 «А» класса
Тема: Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня.
Выполнила:
Учитель математики
Аралбаева Нурслу Еркагалеевна
МОБУ «СОШ №51»
г.Оренбург, 2015г.
Тип урока : систематизация и обобщение знаний.
Методы обучения : проблемный, словесный, наглядный, практический.
Формы классной работы : индивидуальная, парная.
Оборудование :
мел, классная доска
компьютер
мультимедийный проектор с экраном
электронная версия урока - презентация
раздадочный материал (кардочки с заданиями разного уровня)
Цели урока:
Образовательная: обобщить знания по всем видам преобразований выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, закреплять умения пользоваться свойствами квадратного корня, учиться использовать полученные знания для подготовки к РОЭ.
Развивающая: развитие нестандартного подхода к решению проблемы; развитие мышления, грамотной математической речи, навыков самоконтроля; формировать умение организовывать свою деятельность.
Воспитательная: способствовать развитию интереса к предмету, активности, воспитывать аккуратность в работе, умение выражать собственное мнение, давать рекомендации.
Учащиеся должны знать:
Алгоритм внесения множителя под знак корня.
Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня.
Применение свойств квадратного корня.
Определение квадратного корня.
« Величие человека в его способности мыслить ».
Блез Паскаль.
I Организационный момент
Вступление. Сообщение темы и целей урока.
Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:
Что есть больше всего на свете? – Пространство.
Что быстрее всего? – Ум.
Что мудрее всего? – Время.
Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.
В данный момент в класс стучатся и сообщают о том, что школа получила почту, в которой была бандероль для 8 “А” класса. Учитель вскрывает бандероль, в которой находятся письма для каждого учащегося. Получив конверты, учащиеся знакомятся с содержимым. Один из учеников читает вслух рекомендательное письмо:
Уважаемая Нурслу Еркагалеевна!
Оренбургский Государственный университет предлагает Вам принять участие в международном конкурсе “Дети - наше будущее”. Целью проводимого конкурса является выявление одаренных детей в различных регионах нашей страны и предоставление им возможности обучаться в высших учебных заведениях на государственной основе.
Поскольку профилирующими предметами у нас являются математика, физика, информатика, то для участия в конкурсе “Дети - наше будущее” необходимо выполнить задание по предмету “Математика”. Рекомендации по другим предметам Вы получите позже.
Помните, при положительных результатах у Вас появится шанс на поступление в наш университет.
Желаем удачи!
Учитель:
Ребята, нам предлагают принять участие в конкурсе “Дети - наше будущее” и у Вас появится возможность поступить в ВУЗ. Для этого необходимо выполнить предлагаемые задания. Однако, прежде, чем перейти к выполнению задания, повторим основные моменты по теме.
II Актуализация знаний
Вынести из-под знака корня:
Внести множитель под знак корня:
Возведите в квадрат:
Приведите подобные слагаемые:
Получи рисунок (работа в парах)
III Физминутка
Физкультминутка для глаз
IV Тестовая работа.
Тест из заданий РОЭ
Найти значение выражения:
-2(
) 2
А. 9,6 Б. 0 В. 0,38 Г. 2,4
А. 42 Б. 18 В. 60 Г. 6
Найти значение выражения:
0,5 
+ 3 
А. 62,93 Б. 0 В. 8,2 Г. 1
Найти значение выражения:
- 0,5 (
) 2
А. 141 Б. 9. В. 6 Г. 0
А. 0 Б. 0,7 В.1 Г.0,1
Найти значение выражения:
-2(
) 2
А. 8,75 Б. 0,1 В. 0,28 Г. 3,6
А. 47 Б. 8 В. 70 Г. 16
Найти значение выражения:
0,5 
+ 3 
А. 0 Б. 58,61 В. 8,1 Г. 1
Найти значение выражения:
- 0,5 (
) 2
А. 7 Б. 121 В. 6 Г. 0
А. 0 Б. 1 В. 0,3 Г. 0,1
Заполнив таблицу, учащиеся вкладывают выполненное задание в конверт и сдают учителю. Учитель выставляет оценки, благодарит учащихся за работу и сообщает, что на следующем уроке учащиеся получат конверты с результатом и узнают о шансе поступления. VII Итог урока.
Рефлексия
Наша работа подходит к концу и наступает момент творчества. Какой праздник нас ожидает в ближайшее время (Новый год). Мы нарядим «Ёлочку настроения». И пусть она соединит в себе ваше настроение, ваши чувства и эмоции от урока.
Я доволен своей работой на уроке (смайлик соответствующий)
На уроке я работал неплохо.
На уроке мне было трудно.
Пожалуйста, выберите соответствующий вашим эмоциям смайлик, подойдите к доске и повесьте его на ёлочку.
Что же у нас получилось? Очень яркая ёлочка говорит о том, что вы с интересом работали на уроке, узнали много нового, что заставило вас задуматься и изменить свое отношение к алгебре. Я позволю себе добавить несколько штрихов:
- Пусть снежинки окрыляют нас к успеху и творчеству (вешаю снежинки).
- Я надеюсь, что урок принес радость не только мне, но и вам уважаемые мои ученики (Включаем гирлянду).
- А те знания, что вы приобрели, сегодня пусть останутся с вами навсегда.
VIII Задание на дом:
Дифференцированное: уровень А – оценка «3», уровень В – оценка «4», уровень С – оценка «5».
Выставление оценок
Литература:
Программа: для общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г.Мордковича.
Поурочные разработки по алгебре 8 класс О.В.Занина, И.Н. Данкова.
